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Ciência Florestal, Vol. 16, No. 3, 2006, pp. 303-317 ANÁLISE DE ALGUMAS ALTERNATIVAS PARA OBTER O COEFICIENTE ANGULAR DA RETA NO MÉTODO DA ALTURA RELATIVA ANALYSIS OF SOME ALTERNATIVES TO CHARACTERIZE THE TREE PROFILE OF EUCALYPT USING ANALITICAL GEOMETRY Valdir Carlos Lima de Andrade1 Natalino Calegario2 José Roberto Soares Scolforo3 1. Engenheiro Florestal, Doutorando pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Florestal, Universidade Federal
de Lavras, Caixa Postal 37, CEP 37200-000, Lavras (MG). Bolsista CAPES. vclandrade@mailcity.com Recebido para publicação em 29/11/2002 e aceito em 25/07/2006. Code Number: cf06027 RESUMO O método da altura relativa permite caracterizar o perfil do tronco sem precisar do abate de árvores-amostra para cubagem. Emprega-se geometria analítica nas variáveis obtidas partindo de diâmetros tomados a 0,3 metros do terreno e em hr = (h-2)/2, além de d1,3 e h, o que viabiliza a medição destas, simultaneamente, com as demais variáveis mensuradas nas parcelas de inventário florestal. Neste trabalho, foram avaliadas algumas opções para caracterização do perfil do tronco empregando geometria analítica, comparando-se com o seu uso original conforme Andrade (2001). Concluiu-se que o uso de diâmetros relativos ao dap apresentaram melhores resultados para empregar a análise de regressão, a fim de se gerar coeficientes angulares da reta. Também, na expectativa de melhor acurácia, é mais adequado empregar o método da altura relativa utilizando todas as árvores delimitadas pelas parcelas do inventário. Palavras-chave: análise de regressão; cubagem de árvores; método da altura relativa. ABSTRACT The relative height method allows the characterization of stem profile without meeding sample trees to upper diameter measurements. The analytical geometry is applied on the diameter taken on 0,3 meters and on hr = (h-2)/2, as well as dbh and total height (h), making possible the measurement of these variables, simultaneously, with others measured on the permanent sampling in forest inventory. This study evaluated some alternatives in characterizing the stem profile by using analytical geometry, comparing it to the original method according Andrade (2001). It was concluded that the use of relative diameters to dbh showed better results in regression analysis to generate straight line angular coefficient. Also, to obtain better accuracy, it is more adequate to implement the relative height method using all trees inside the inventory sample unit. Keywords: regression analysis; stem analysis; relative height method. INTRODUÇÃOA cubagem de árvores é essencial para se caracterizar o comportamento do diâmetro ao longo do tronco bem como de seu volume, que pode ser obtido pelo emprego de diferentes fórmulas de cubagem, das quais, se destacam as fórmulas de Smalian, Huber e de Newton que, conforme relatos de Finger (1992), Machado e Figueiredo-Filho (2003) e Scolforo (2005), foram introduzidas no setor florestal entre o final do século XVIII e início do século XIX. Os dados obtidos na cubagem são analisados empregando-se técnicas de regressão linear e não-linear com o intuito de definir uma equação adequada à predição do volume em árvores não-cubadas. Dependendo do objetivo a que se propõe o uso do tronco, podem ser utilizados métodos de taper, de razão de volumes ou de único volume, cabendo citar os métodos relatados por: Spurr (1952), Campos e Leite (2002), Scolforo (2005), dentre outros. Na definição da equação de regressão mais adequada, em geral, são utilizados dados obtidos em árvores-amostra abatidas, o que acarreta dispêndios de recursos, às vezes, altíssimos, porque a cubagem deve ser realizada constantemente nos vários estratos que compõem as populações amostradas. Assim, o alto custo dessa atividade aliado ao tempo, deslocamento das equipes e porte das árvores fazem com que a cubagem seja, muitas vezes, negligenciada na empresa florestal, impactando negativamente as predições volumétricas. Em contraposição a esse fato e visando caracterizar o perfil do tronco sem necessitar abater árvores para cubagem, Andrade e Leite (2001) desenvolveram o método da altura relativa tendo por base teórica o seguinte postulado: “Existe um determinado ponto entre 1,3 m do terreno e a altura total de uma árvore, em que esta ao ser dividida em dois intervalos, possibilita minimizar os erros na descrição do seu taper, pois se considera que o perfil do tronco de uma árvore seja o resultado da interseção de várias retas com coeficientes angulares em intervalos aproximadamente iguais”. Como resultado disso, para se desenvolver o método da altura relativa, os autores recomendaram medir apenas a altura total (h) e os diâmetros situados a 1,3 metros do terreno (d1,3) e em hr = h − 0,545673d1,3, denominado de altura relativa (hr). Em um outro estudo desse método, Andrade (2001) demonstrou ser mais adequado desenvolvê-lo partindo da medição dos diâmetros situados a 0,3 m (toco), 1,3 m, na altura total h e na altura relativa hr, obtida por hr = (h − 2) / 2. Na realidade, ao se utilizar o método altura da relativa, tem-se um cenário em que não é necessário abater árvores para a cubagem. Além desse fato, como identificado em Leite e Andrade (2002), as medições prescritas podem ser feitas em apenas algumas árvores de cada parcela do inventário, que seriam as mesmas árvores amostradas para compor a relação hipsométrica. Essa ação propicia caracterizar o taper das árvores de cada parcela e em cada época de medição, fato equivalente ao de se estar realizando a cubagem com o abate de árvores vinculado a cada uma das parcelas. O que se procura com este estudo é identificar novas opções para se retratar o tronco das árvores de forma a propiciar maior acurácia ao método da altura relativa, tendo os seguintes objetivos: a) Identificar novas opções para obter os coeficientes angulares da reta, incluindo a identificação da melhor forma de transformação das variáveis utilizadas; b) Comparar os coeficientes angulares da reta avaliados neste estudo com o método original; c) Verificar se o método da altura relativa deve ser desenvolvido empregando todas as árvores que compõem as parcelas de um inventário florestal. MATERIAL E MÉTODOSEste estudo foi realizado utilizando dados de sessenta árvores de eucalipto distribuídas com igual número de indivíduos por classe de d1,3 e tendo medições de diâmetros do tronco nas posições: 0,1 m, 0,3 m, 0,7 m, 1,3 m, 2 m, 3 m, 4 m, 5 m, até 1 a 2 cm de diâmetro com casca. Utilizando somente as informações de d1,3, h e dos diâmetros localizados em h0,0 (0,3 m) e em hr = (h − 2) / 2 das sessenta árvores, conforme Andrade (2001), desenvolveu-se o método da altura relativa em sua formulação original de CARk aplicando-se:
O que gerou as seguintes equações de taper:
Em
que: CARk = coeficiente
angular real da reta que passa pelo k-ésimo intervalo I, II ou III; Nas equações 4, 5, 6 e 7, são utilizados valores reais de CARk, se estes forem obtidos por meio das fórmulas 1, 2 e 3 aplicadas em todas as árvores amostradas pelo inventário. No entanto, no caso da parcela do inventário florestal, quando se tem apenas dados de d1,3 e h das árvores, pode-se obter CARk empregando-se análise de regressão a valores reais de CARk obtidos para somente algumas árvores. Utilizar análise de regressão, para obter CARk, pode não proporcionar resultados satisfatórios, porque, em conseqüência baixa correlação de CARk com d1,3 e h, nem sempre se obtém boas estimativas de equações de regressão e, conseqüentemente, boas predições do perfil do tronco. Uma
opção para viabilizar essa metodologia pode ser a transformação de CARk
em d1,32h/CARk, ou
transformar as variáveis envolvidas nas fórmulas 1, 2 e 3 fazendo: Formulação CARka
Formulação CARkb
Formulação CARkc
Utilizando as fórmulas 8 a 16, desenvolveram-se, algebricamente, as equações para descrever o perfil do tronco segmentado em quatro partes, como se segue. Formulação CARka
Formulação CARkb
Formulação CARkc
As equações 4 a 7 e 17 a 28; geradas pelas fórmulas de CARk e CARki, sendo k = I, II e III e i = a, b e c, foram utilizadas para fazer predições de diâmetros ao longo do tronco e de volumes comerciais até os diâmetros de 0 cm (volume total – Vt), 4 cm (V4) e de 6 cm (V6) com casca. Nesse caso, para obter os volumes comerciais, aplicou-se a fórmula de Smalian em alturas abaixo que 2 m e, partindo desta, supondo toras com 2 m de comprimento, aplicou-se a fórmula de Newton até o diâmetro comercial desejado. Para obter o volume total Vt, somou-se ao volume obtido até o diâmetro de, aproximadamente, 2 cm (hc) o volume de um cone compreendendo o intervalo entre hc e h. Adicionalmente,
considerando que, em árvores em que se tem somente valores de d1,3
e h, o uso das equações 4 a 7 e 17 a 28 exige o emprego de equações para
se obterem os coeficientes angulares CARk e CARki, pois não se tem Para a seleção da melhor equação de regressão e também avaliação de diâmetros do tronco e dos volumes Vt, V4 e V6, realizou-se a análise de resíduos por meio de gráficos e das estatísticas:
Em que: DMP = desvio médio percentual; Na
avaliação das equações, procedeu-se à classificação dos resultados obtidos para
as estatísticas adotadas. Adotou-se peso 1 para o melhor resultado, peso 2
para o resultado classificado em segundo lugar e assim por diante até a última
equação avaliada. O resultado final foi agrupado na média ponderada obtida
por: Uma análise de variância, aplicando o teste conhecido como teste de identidade de Graybill (Regazzi, 1996, Battisti, 2001), foi utilizado para verificar a necessidade de uso de equações para obter CARki em cada classe de diâmetro (modelo completo). Para esse propósito, utilizando-se os valores reais de coeficiente angular obtidos por meio da formulação selecionada nas 60 árvores, foi testada a redução provocada na soma de quadrados da regressão por causa do uso de uma única equação para todas as classes de diâmetro (modelo reduzido). Assim, calculou-se a seguinte estatística:
Em que: O teste F(Ho) foi utilizado para se verificar a existência de igualdade ou diferença no banco de dados envolvendo as classes de diâmetro. Quando F(Ho) resulta em não-significância (ns) ao nível de 5% de probabilidade, estatisticamente, pode-se inferir que as classes de diâmetro analisadas se constituem em um lote de dados com potencial para estimar a mesma equação de CARki. Caso contrário, deve-se estimar uma equação de CARki a cada classe de diâmetro. Após selecionada a formulação de CARki, realizou-se uma comparação com o uso do método da altura relativa tendo CARk predito pelas equações obtidas por Andrade (2001), que são:
Também, realizou-se inferências sobre a medição dos diâmetros situados a 0,3 m, 1,3 m e em hr = (h − 2) / 2 adaptando-se os dados das sessenta árvores na simulação de suas medições em todas as árvores. Diante disso, foram definidos os seguintes métodos: Método I – uso da formulação selecionada de CARki nas suas respectivas equações de taper; Método II – uso das equações 29, 30 e 31 obtidas por Andrade (2001) para fazer a predição de CARk nas equações de taper 4, 5, 6 e 7; Método III – uso de valores reais dos coeficientes angulares obtidos pelas fórmulas 1, 2 e 3 nas equações de taper 4, 5, 6 e 7. É importante ressaltar que o uso de valores reais de coeficientes angulares gera o mesmo valor de diâmetros do tronco independentemente da formulação utilizada, seja de CARk ou de CARki. Com isso, o método III poderia se referir a qualquer uma das formulações apresentadas neste estudo, sendo preferido o uso original do método da altura relativa por ser mais fácil de trabalhar com suas respectivas equações de taper, representadas pelas fórmulas 1, 2 e 3 aplicadas nas equações 4, 5, 6 e 7. Um exemplo do método da altura relativa utilizando o método III é apresentado no apêndice deste estudo, similar ao encontrado em Scolforo (2005) e também todas as transformações algébricas feitas nas fórmulas de coeficientes angulares gerando equações de taper. RESULTADOS E DISCUSSÃOO resultado das análises feitas para se obter o coeficiente angular da reta, que passa em cada intervalo formado no tronco das 60 árvores, intervalos correspondendo à 0,3 m com 1,3 m (Intervalo I), 1,3 m com hr = (h-2)/2 (Intervalo II) e hr com h (Intervalo III), foi a seleção das fórmulas representadas por CARkb, fórmulas 11, 12 e 13. Das
várias equações avaliadas, quanto às predições de CARkb e
diâmetros no tronco, decidiu-se por aquelas apresentadas na Tabela 1 que foram
estimadas por meio do modelo linear clássico. Tais equações, conforme indica a
não-significância do quadrado médio da redução da regressão As equações apresentadas na Tabela 1 foram utilizadas para fazer a predição de CARkb nas equações de taper 21, 22, 23 e 24 definindo-se como método I (MI). Este apresentou melhor acurácia que o método II (MII) e pior que o método III (MIII), conforme se pode ver pela estatística percentual médio (PM) apresentada na Tabela 2. Além da Tabela 2 apresentar resultados expressivamente melhores quando se utilizou o método III, tanto para fazer a predição de diâmetros do tronco como para os volumes comerciais Vt, V4 e V6, a Figura 1 também indica o referido método como a melhor opção, pois apresentou uma distribuição de resíduos mais uniforme tendo a maioria deles oscilando em torno de ± cm. Na Figura 2, são apresentados os resíduos obtidos para o volume comercial empregando-se os métodos I, II e III. Observa-se melhor distribuição dos resíduos para os volumes comerciais obtidos pelo método III, conforme já evidenciado anteriormente pelas estatísticas apresentadas na Tabela 2. Diante dos resultados obtidos, evidencia-se que, para caracterizar o perfil do tronco de eucalipto empregando geometria analítica, se deve utilizar coeficientes angulares reais da reta e evitar obtê-los por meio de análise de regressão. Portanto, deve-se medir os diâmetros localizados nas alturas 0,3, 1,3 e hr = (h-2)/2 metros do terreno em todas as árvores amostradas pelo inventário, o que permite inferir sobre o método da altura relativa ser uma importante ferramenta para se alterar drasticamente a estratégia de cubagem rigorosa, sem a necessidade de abater árvores-amostra. As estatísticas da Tabela 2 indicam, ainda, que, ao se utilizar o método da altura relativa para caracterizar o perfil do tronco, em média, há perdas na acurácia a medida em que a hi-ésima altura se distancia em direção de h, sobretudo em alturas maiores que hr1. Como se tratam de diâmetros menores, os erros evidenciados podem não influenciar indesejavelmente a predição do volume. Considerando o método III, houve uma diferença entre diâmetros preditos e reais (P) inferior a ± 8% em alturas menores que hr1. Essas estatísticas refletiram no volume comercial, indicando uma diferença entre volumes preditos e reais de ± 5% para Vt e V4 e de ± 12% para V6, bem abaixo dos resultados obtidos para o método I. CONCLUSÕES Os resultados obtidos neste estudo permitiram concluir que: O método da altura relativa faz predição do volume com perdas na acurácia à medida que se aumenta o diâmetro comercial, ocorrendo o inverso para estimativas de diâmetros do tronco; O método da altura relativa deve considerar as fórmulas 11, 12 e 13 quando for utilizada análise de regressão para obter CARkb nas equações de perfil do tronco 21, 22, 23 e 24; Não
se deve usar equações de regressão tendo a forma funcional: Em
inventários florestais ou em atividades de pesquisa, nas quais se espera melhor
acurácia do método da altura relativa, deve-se mensurar
A P Ê N D I C E Deduções das Equações de Taper Utilizando o Método III Neste item, seguindo-se a seqüência apresentada em Andrade (2001), algebricamente, são deduzidas as equações de perfil do tronco 4, 5, 6 e 7 partindo das fórmulas 1, 2 e 3 utilizadas no método III. Para os demais métodos, segue-se a mesma seqüência. Dos valores necessários ao desenvolvimento do método da altura relativa, com a j-ésima árvore em pé, é preciso apenas medir o diâmetro situado a 0,3 (h0,0j), 1,3 e em hrj metros do terreno dividindo-a nos intervalos I, II e III. Porém, para se utilizar as equações de taper obtidas, a árvore é dividida em quatro novos segmentos, sendo h0,0j com 1,3 m, 1,3 m com hr1j, hr1j com hr3j e hr3j com hj. Conforme Andrade (2001), partindo das fórmulas: 
Respectivamente, obtem-se que:
Sendo
CARkj o coeficiente angular real da reta que passa pelo k-ésimo
intervalo delimitado na j-ésima árvore, com k = I, II e III; As equações 32, 33 e 34 são utilizadas de forma a segmentar o tronco das árvores simulando métodos de cubagem. No segmento entre 0,0 m a 1,3 m, utiliza-se a equação 32 e, no segmento entre 1,3 m a (hri)j = (hj − 1,7) / 1,7 utiliza-se a equação 33. Partindo de 33 e 34, obtem-se os diâmetros em (hri)j e (hj − 1,4) / 1,4 aplicando-se:
Em
seguida, utiliza-se a fórmula:
ou
A média entre as equações 33 e 35 resulta na equação de taperque deve ser utilizada no segmento entre (hri)j e (hr3)j = (hj − 1,1) / 1,1, cuja forma reduzida é a seguinte:
Como a equação 36 é utilizada até uma altura (hr3)j, então, partindo desta, calcula-se o diâmetro (dhr3)j e utiliza-se a fórmula: (CARV ) j = [2(hr3) j − 2hj ]/(dhr3) j gerando a seguinte equação de taper que deve ser utilizada no segmento entre (hr3)j a hj:  Um
Exemplo Utilizando o Método III
Partindo das medições realizadas numa árvore em pé apresentada na Tabela 3, calcular o seu volume utilizando o método da altura relativa. O primeiro passo a ser realizado é o cálculo do coeficiente angular real da reta CARk em cada intervalo formado por 0,3 m a 1,3 m (Intervalo I), 1,3 m a hr (Intervalo II) e hr a h (Intervalo III). Então, conforme as fórmulas 1, 2 e 3, tem-se que: 
TABELA 3: Diâmetros ao longo do fuste de uma árvore mensurada em pé. TABLE 3: Diameters across the standing up tree stem.
Após realizados os cálculos de CARk, são preditos os diâmetros em diferentes posições ao longo do tronco aplicando-se uma fórmula de cubagem tradicional, obtendo-se o volume da árvore. Neste exemplo, será predito o diâmetro nas posições 0,1; 0,4; 0,7; 1,0; 2,0; 3,0; 4,0; 5,0; até um diâmetro próximo de 2 cm (hc). Antes da predição de diâmetros ao longo do tronco, é necessário ainda o cálculo de três novas alturas relativas, as quais são: 
Para 0,0 < hi < 1,3 m: aplicação da equação 32 fazendo dI igual a dhi
Para 1,3 < hi < hr1: aplicação da equação 33 fazendo dII igual a dhi 
Para hr1 < hi < hr3: aplicação da média entre as equações 33 e 35 fazendo dII e dIV iguais a dhi ou da equação resultante na sua forma reduzida que é a de número 36
Para hr3 < hi < h: aplicação da equação 37 
Na Tabela 2, podem ser observados todos os diâmetros preditos pelo método da altura relativa, bem como o volume Vi utilizando a fórmula de Smalian. Observa-se também que se utilizar o tronco da árvore em toras de 2,0 m de comprimento, o volume comercial V6 é 0,1281 e o V4 é 0,1330, sendo Vt igual a 0,1366, ambos os volumes em m3 com casca. TABELA 4: Volume com casca calculado pela fórmula de Smalian partindo dos diâmetros com casca preditos pelo método da altura relativa. TABLE 4: Volume inside bark calculated by Smalian formula based on diameter and bark predicted by relative height method.
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= diâmetro
na hi-ésima altura desejada entre 0,0 m e h. 
que permitiu
desenvolver as seguintes fórmulas:
e dhr para gerar valores
reais destes. Assim, procedeu-se à simulação desse cenário avaliando-se um
grande número de equações de regressão compatíveis, ou seja, que além de fazer
boa predição de CARk, também proporcionassem uma boa predição
do diâmetro do tronco, uma vez que equações adequadas de CARk
podem fornecer predição de diâmetros negativos para algumas posições no
tronco. 
.
= erro-padrão
residual entre valores reais e preditos; P = exatidão obtida
pelo teste de qui-quadrado ao nível de 0,05, conforme Paula Neto et al.
(1983); 
e Yi = valor predito e
real de CARk, CARki, diâmetros do tronco e volumes Vt,
V4 e V6; n = número de
pares de 
= valor
real médio. 
.
.
= soma de quadrados de
parâmetros do modelo completo; 
= soma de quadrados de parâmetros
do modelo reduzido; SQRes(c) = soma de quadrados do
resíduo aplicando a equação do modelo completo em cada respectivo estrato; H = número
de equações comparadas; P = número de parâmetros do modelo
reduzido; N = número total de observações considerando H
equações estimadas. 
,
foram estimadas tendo os dados agrupados em um único lote em vez de
separadamente por classe de diâmetro. 
para obter o
coeficiente angular nas equações de perfil do tronco geradas por geometria
analítica;
, a qual, após transformações
algébricas apresentadas em Andrade (2001), resulta na seguinte equação de
taper: 
