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Comparación de los procedimientos GLM y MIXED del SAS^® para analizar diseños de parcelas divididas con bloques al azar

COMPARING THE SAS GLM AND MIXED PROCEDURES FOR SPLIT-PLOT DESIGNS IN RANDOMIZED COMPLETE BLOCKS

Instituto Nacional de Investigaciones Agrícolas (INIA).
Centro Nacional de Investigaciones Agropecuarias (CENIAP).
Instituto de Investigaciones Zootécnicas. Apartado Postal 4653. Maracay 2101. Venezuela.
Correo electrónico: jgil@reacciun.ve

PROC GLM of SAS has been the most common routine to analyze data coming from split-plot designs. However, this procedure was developed to evaluate fixed models and it does not consider this type of design that relates more to a mixed model with fixed and random effects, for which is necessary to evaluate procedures that consider mixed models. PROC MIXED of SAS was explicitly developed for analyzing data coming from mixed models, bypassing some problems of PROC GLM for this type of analysis. It is discussed the advantages of PROC MIXED in comparison with PROC GLM, using an example analyzed with both procedures. It is concluded that PROC MIXED gives the correct standard errors for each level of analysis, making means comparison in the proper way, for which is widely recommended its application in substitution of PROC GLM for the split-plot analysis data.

Key words: Models mixed, split-plot analysis, experimental designs, analysis of variance

El procedimiento (PROC) GLM del programa estadístico SAS ha sido la rutina mas comúnmente utilizada para analizar datos provenientes de diseños con parcelas divididas. Sin embargo, este procedimiento fue desarrollado para evaluar modelos de componentes fijos y no considera que en realidad este tipo de diseño se corresponde a un modelo mixto con factores fijos y aleatorios, por lo que se hace necesario evaluar rutinas que consideren los modelos mixtos. El PROC MIXED del SAS fue desarrollado explícitamente para evaluar datos provenientes de modelos mixtos, eliminándose los problemas que presenta el PROC GLM para este tipo de análisis. Se discuten las ventajas del PROC MIXED en comparación con PROC GLM, por medio de un ejemplo analizado con ambos procedimientos. Se concluye que el PROC MIXED proporciona los errores estándares adecuados a cada nivel de análisis, realizando las comparaciones de media en la forma correcta, por lo que se recomienda su utilización ampliamente en sustitución del PROC GLM para análisis de parcelas divididas.

Palabras clave: modelos mixtos, parcelas divididas, diseño experimental, análisis de varianza.

El uso de bloques es una técnica que es usada para disminuir los efectos de variación entre las unidades experimentales. Los bloques son grupos de unidades que se forman de tal manera que las unidades dentro de los bloques sean tan homogéneas como sea posible. Los niveles del factor (tratamiento) a ser investigado son asignados a las unidades dentro de los bloques al azar. Un experimento conducido en esta manera es llamado diseño de bloques al azar. En la mayoría de los casos, los efectos de los tratamientos son considerados fijos porque los tratamientos en el experimento son los únicos sobre los cuales se realizarán inferencias. Los efectos del bloque se consideran como aleatorios porque los bloques en el experimento son sólo un pequeño subconjunto de un universo de bloques sobre los cuales se realizarán inferencias acerca de los tratamientos. En otras palabras, el investigador desea estimar y comparar medias de los tratamientos con precisión y niveles de significancia estadística que sean validos en referencia a la población entera de bloques y no sólo de aquellos en el experimento. Para lograr esto, se requiere la especificación adecuada de los efectos aleatorios en el modelo. A su vez, los cómputos de los métodos estadísticos deben incluir adecuadamente los efectos aleatorios. El modelo para datos de diseños con bloques al azar usualmente contiene efectos fijos por las contribuciones de los tratamientos y efectos aleatorios por las contribuciones de los bloques, conformándose un modelo mixto.

El diseño de parcelas divididas es un factorial conducido de tal manera que la unidad experimental con respecto a uno o más factores es una subunidad de la unidad experimental con respecto a otros factores. Los experimentos con parcelas divididas son frecuentemente usados por necesidad cuando un factor debe ser aplicado a una gran unidad experimental, mientras que otros factores son mas apropiados aplicarlos a las subunidades. También este diseño es utilizado por la conveniencia o facilidad de aplicar diferentes factores a diferentes unidades con tamaños distintos. El diseño de parcelas divididas también puede ser usado para incrementar la precisión del efecto estimado por la aplicación de un factor a las subunidades.

Muchos estudios utilizan diseños que requieren modelos de análisis de varianza con dos o más tipos de errores experimentales. Ejemplos ampliamente usados incluyen experimentos de parcelas divididas, ensayos multilocacionales y modelos de regresión. Anteriormente, tales estudios han sido analizados utilizando procedimientos computacionales apropiados para modelos de efectos fijos modificados para obtener la estadística relevante, como por ejemplo el procedimiento (PROC) GLM del programa SAS con instrucciones opcionales para especificar las varianzas apropiados a cada caso. En muchos casos, estos procedimientos modificados producen los resultados apropiados. Sin embargo, estos métodos son frecuentemente incómodos y confusos de utilizar. En algunos casos, y más importante, estos procedimientos para modelos de efectos fijos no pueden ser modificados para producir la estadística apropiada para los objetivos de la investigación (Littell et al., 1991).

El presente trabajo tiene como objetivo comparar los procedimientos utilizados por el SAS (PROC GLM y PROC MIXED) para analizar datos provenientes de un diseño de parcelas divididas con bloques al azar y establecer cual procedimiento debería ser utilizado en este tipo de diseño experimental.

El conjunto de datos a utilizar como ejemplo demostrativo (Cuadro 1) proviene de Snedecor y Cochran (1971) donde se evaluó el efecto de cuatro fechas del último corte del año (F1, F2, F3 y F4) sobre la productividad de materia seca de tres variedades de alfalfa (Cossack, Ladak y Ranger). Cada variedad (parcela principal) se ubicó al azar dentro de cada bloque y posteriormente se subdividió aleatoriamente cada variedad en cuatro fechas de corte (subparcela), empleándose seis bloques en total.

Cuando se analizan datos provenientes de un diseño de parcelas divididas, el diseño factorial y la estructura de aleatorización es acomodada utilizando errores separados para la construcción de las pruebas F. El error correcto a ser utilizado en

Cuadro 1. Datos del ejemplo utilizado en este trabajo. Los datos corresponden al rendimiento de tres variedades de alfalfa (Tons/acre) en cuatro fechas del ultimo corte

Variedad	Fecha	Bloques
Variedad	Fecha	1	2	3	4	5	6
Ladak	1	2,17	1,88	1,62	2,34	1,58	1,66
	2	1,58	1,26	1,22	1,59	1,25	0,94
	3	2,29	1,60	1,67	1,91	1,39	1,12
	4	2,23	2,01	1,82	2,10	1,66	1,10
Cossack	1	2,33	2,01	1,70	1,78	1,42	1,35
	2	1,38	1,30	1,85	1,09	1,13	1,06
	3	1,86	1,70	1,81	1,54	1,67	0,88
	4	2,27	1,81	2,01	1,40	1,31	1,06
Ranger	1	1,75	1,95	2,13	1,78	1,31	1,30
	2	1,52	1,47	1,80	1,37	1,01	1,31
	3	1,55	1,61	1,82	1,56	1,23	1,13
	4	1,56	1,72	1,99	1,55	1,51	1,33

Fuente: Snedecor y Cochran (1971)

la prueba F para el tratamiento aplicado a las parcelas principales es la interacción bloque*tratamiento de la parcela principal, mientras que el error residual es el apropiado para probar la hipótesis relacionada con el tratamiento aplicado a la subparcela y la interacción entre los tratamientos aplicados en la parcela principal y la subparcela.

PROC GLM fue el principal procedimiento de SAS para analizar modelos mixtos antes del surgimiento del PROC MIXED, aún cuando los cálculos básicos del PROC GLM son para modelos de efectos fijos. Un análisis más detallado del PROC GLM puede encontrarse en Littell et al. (1991). El siguiente programa lee los datos y ejecuta el análisis normal utilizando el PROC GLM:

El término BLOCK*VARIEDAD se incluye en la instrucción de MODEL para establecer su utilización en la opción E en la instrucción TEST. Esto permite la construcción correcta de las pruebas para el factor parcelas principales (VARIEDAD).

PROC MIXED esta basado en estimaciones probabilísticas máximas o restringidas de modelos lineales estadísticos que contemplan términos fijos y aleatorios, tales como el modelo lineal en el que se basa el análisis de parcelas divididas, por lo que se presenta como la mejor opción para el análisis estadístico de este tipo de diseño experimental (Littell et al., 1996).

El programa básico para analizar diseños de parcelas divididas utilizando PROC MIXED es:

La opción METHOD=REML invoca la estimación por máxima verosimilitud restringida, el cual es el método predeterminado del PROC MIXED. La instrucción MODEL contiene los mismos términos que en PROC GLM, excepto por el factor BLOCK*VARIEDAD. Este término fue incluido en el PROC GLM para producir el cuadrado medio asociado con este componente aleatorio ya que constituye el denominador para las pruebas F que involucran a las parcelas principales. En el PROC MIXED este efecto del modelo es parte de la instrucción RANDOM. Esto indica que el factor BLOCK*VARIEDAD es un factor aleatorio y no fijo.

La opción DDFM=SATTERTH en la instrucción MODEL invoca el procedimiento Satterthwaite para obtener los grados de libertad correctos. Una vez incluida, esta opción controla el concepto de grados de libertad para la tabla "Test of Fixed Effects" (Prueba de Efectos Fijos) de la salida del programa y de las instrucciones LSMEANS, ESTIMATE y CONTRAST. En nuestro ejemplo, las pruebas que son afectadas por esta opción son las comparaciones de medias de parcelas principales a un nivel dado de subparcela.

La salida resumida que produce SAS del programa indicado anteriormente se presenta en el Cuadro 2.

El cuadrado medio del error (CME) para comparaciones que involucren a las subparcelas (FECHA) o a las interacciones VARIEDAD*FECHA es 0.02810352, mientras que el CME para comparaciones de la parcela principal VARIEDAD es 0.13765639 (Cuadro 2). En el Cuadro anterior, el valor P asociado con la prueba para VARIEDAD en el Cuadro ANAVAR de 0.0495 es incorrecto porque utiliza el CME de la subparcela como término de error en los cómputos de F. La prueba correcta para la hipótesis nula Ho: no-efecto de variedad tiene un valor de P de 0.5397, el cual es dado por SAS en una salida aparte de el Cuadro ANAVAR. Las valores de P para Ho: no-efecto de fecha de 0.0001 y para Ho: no-interacción variedad*fecha de 0.2938 son correctos.

El modelo lineal en el que se basa el diseño de parcelas divididas tiene dos componentes de la varianza, uno está asociado con la parcela principal (s ²_PP) y el otro con la subparcela (s²_SP). La estimación de estos dos componentes es importante para estimar la varianza de las medias, diferencias entre medias y contrastes. Un método de estimación usa la relación entre los cuadrados medios y sus esperanzas para derivar estimadores puntuales de varios componentes, entre ellos, s²_PP y s²_SP. Para nuestro conjunto de datos y según la tabla anterior, este método produce:

s²_PP=[CME (PP) – CME (SP)]/ b = [0.13765639 – 0.02810352] / 4 = 0.02738822

Existen cuatro tipos de comparaciones que podrían ser de interés en diseños de parcelas divididas. Los primeros dos son adecuados si no existe interacción entre los tratamientos de la parcela principal y la subparcela, mientras que el segundo juego de comparaciones es adecuado si existe interacción significativa. En cada caso se debe tener cuidado de calcular en forma correcta los errores estándar (EE) de las diferencias de las medias.

Las comparaciones de medias pueden ser vistas en forma esquemática de la siguiente manera:

El estimado correcto de la varianza de las diferencias entre dos medias de tratamientos en la parcela principal es 2*CME(PP)/rb, donde r es el número de bloques y b es el número de tratamientos en las subparcelas. En nuestro ejemplo, la varianza estimada es 2*0.13765639/(6*4) = 0.011471366 y el EE sería la raíz cuadrada de este valor, 0.10710446.

El estimado correcto de la varianza de las diferencias entre dos medias de las subparcelas es 2*CME(SP)/ra, donde a es el número de tratamientos en la parcela principal. En nuestro ejemplo, este estimado es 2* 0.02810352/(6*3) = 0.003122613 y el EE = 0.0558803.

Comparaciones entre medias de las subparcelas a un nivel fijo del tratamiento de la parcela principal

El estimado correcto de la varianza de la diferencia entre dos medias de las subparcelas a un mismo tratamiento de parcela principal es 2*CME(SP)/r. En nuestro caso, el estimado es (2*0.02810352)/6 = 0.00936784 y el EE = 0.0967876.

Comparaciones entre medias de parcelas principales a un nivel fijo del tratamiento de subparcelas

El estimado correcto de la varianza puede ser expresado como una función de los dos CME, según la fórmula 2*[CME(PP) + (b-1)CME(SP)]/rb. En nuestro ejemplo, el estimado es 2*[0.13765639 + (4-1)0.02810352]/(6*4) = 0.018497246 y el EE = 0.13600458.

El Cuadro 3 presenta las cuatro comparaciones, los EE correctos y los valores calculados por la instrucción ESTIMATE del PROC GLM del SAS. Como se observa en el Cuadro 1, PROC GLM no calcula los errores estándar en forma correcta para las comparaciones que envuelven mas de un nivel del tratamiento en las parcelas principales. PROC GLM solo produce EE correctos para hacer comparaciones entre medias de las subparcelas (e.g., Fecha 1 vs. Fecha 2) y entre medias de subparcelas a un nivel de la parcela principal (e.g., F1 vs. F2 de Cossack). PROC GLM no tiene una opción que permita especificar EE alternos cuando el EE por omisión es inapropiado. La instrucción CONTRAST puede ser usada para calcular las pruebas de F correctas para contrastes entre niveles de la parcela principal solo si se emplea la opción /E=BLOCK*VARIEDAD.

Cuadro 3. Error estándar (Ee) correcto y calculado por los PROC GLM y MIXED para comparar medias de los cuatro tipo de comparaciones en un análisis de parcelas divididas

1 Error estándar calculado utilizando la instrucción LSMEANS en PROC GLM.
2 Error estándar calculado utilizando la instrucción ESTIMATE en PROC MIXED.

Cuando se comparan medias con la instrucción MEANS o LSMEANS se debe tener cuidado porque los EE de las medias no son calculadas correctamente. El Cuadro 4 muestra los EE de las medias de la parcela principal, subparcela y la interacción. Puede verse en este cuadro que PROC GLM calcula la varianza de la media como CME(SP)/numero de observaciones. Así por ejemplo, el EE de la parcela principal es calculado como la raíz cuadrada de (0.02810352/3) = 0.096787. Similarmente para la subparcela, raíz cuadrada de (0.02810352/18) = 0.039513. Estos EE no toman en consideración el proceso de randomización y la estructura del error de los diseños de parcelas divididas. En consecuencia, las pruebas de separación de medias de diseños de parcelas divididas basadas en PROC GLM del SAS no son correctas, haciéndose necesario su calculo a mano utilizando formulas engorrosas, descritas por varios autores (Petersen 1985, Monzón 1992).

The MIXED Procedure

Class Level Information
Class	Levels	Values
VARIEDAD	3			cos	lad	ran
FECHA	4		1	2	3	4
BLOCK	6	1	2	3	4	5	6

Covariance Parameter Estimates (REML)
Cov Par	Estimate
BLOCK	0.05741604
VARIEDAD*BLOCK	0.02738822
Residual	0.02810352

Tests of Fixed Effects
Source	NDF	DDF	Type III F	Pr > F
BLOCK	5	10	6.01	0.0081
VARIEDAD	2	10	0.66	0.5397
FECHA	3	45	23.21	0.0001
VARIEDAD*FECHA	6	45	1.26	0.2938

En esta salida hay que resaltar varios puntos importantes. Primero, los estimados de los parámetros de covarianza coinciden exactamente con s ²_PP y s ²_SP derivados anteriormente. Estos valores se presentan en la salida de SAS en la sección "Covariance Parameter Estimate (REML)", como los estimados de la varianza para la interacción VARIEDAD*BLOQUE y residual, respectivamente. En contraste con PROC GLM, en PROC MIXED no es necesario derivar los estimados de los componentes de la varianza de los cuadrados medios esperados por el método de los momentos. PROC MIXED estima los componentes de la varianza directamente. En casos de datos balanceados, los estimados por el método de los momentos por PROC GLM coinciden con los estimados obtenidos por el método de la estimación máximoverosimil restringida (abreviado como REML en la salida del programa).

Otra ventaja importante del PROC MIXED es su habilidad para producir inferencias correctas para los efectos fijos del modelo. Todas las pruebas son construidas en la manera correcta sin necesidad de especificar el término de error para el factor variedad, por ejemplo. PROC MIXED presenta las pruebas de F en una tabla llamada "Tests of Fixed Effects" (Pruebas de los efectos fijos), donde se muestran los cómputos para cada término que se incluyó en la instrucción MODEL.

En este tipo de diseño experimental, la mayor ventaja del PROC MIXED es el cálculo de los errores estándar, contrastes y estimaciones de las combinaciones lineales para los parámetros del modelo. Como puede observarse en el Cuadro 3, los errores estándar usados por PROC MIXED para las distintas comparaciones son los errores estándar correctos para realizar este tipo de análisis.

Para llevar a cabo múltiples comparaciones es necesario trabajar con los errores estándar correctos de las medias. El Cuadro 4 muestra los estimados correctos y los calculados por PROC MIXED. Como puede observarse, PROC MIXED calcula los EE apropiados para todos los casos de diseños de parcelas divididas y por lo tanto, su uso debería ser preferido en este tipo de diseño.

Se puede obtener medias de los tratamientos con la instrucción LSMEANS, con la opción PDIFF. En nuestro ejemplo, la instrucción seria:

Cabe recordar que LSMEANS y MEANS producen el mismo resultado si los datos son balanceados, utilizándose LSMEANS cuando existen datos faltantes. La salida del SAS de esta instrucción produce una tabla con las medias para el tratamiento aplicado a la parcela principal, subparcela y para cada nivel de la interacción PP*SP, junto con los EE, los cuales son los correctos para cada caso. La opción PDIFF produce otra tabla en la cual se presentan comparaciones apareadas para todos los niveles de tratamientos y los EE de las diferencias. La comparación entre medias se realiza mediante una prueba t.

Cuadro 4. Error estándar correcto y calculado por los PROC GLM y MIXED de las medias de la parcela principal, subparcela e interacciones en un análisis de parcelas divididas

1 Error estándar calculado utilizando la instrucción LSMEANS en PROC GLM.
2 Error estándar calculado utilizando la instrucción LSMEANS en PROC MIXED.

Combinaciones lineales de medias pueden ser estimadas con la instrucción ESTIMATE. Como ejemplo ilustrativo, digamos que se quiere conocer la media y error estándar de la variedad Cossack en el experimento, entonces la instrucción debería ser:

La instrucción CONTRAST es compañera de la instrucción ESTIMATE y se usan frecuentemente en forma conjunta. CONTRAST se usa para probar hipótesis sobre combinaciones lineales de parámetros del modelo. Por ejemplo, si se quieren comparar las medias de la variedades Cossack y Ladd, la instrucción seria:

En general, el uso de ESTIMATE y CONTRAST es estimar y probar combinaciones lineales de todos los tratamientos del modelo mixto, incluyendo efectos aleatorios.

Seguidamente se indican otros ejemplos de CONTRAST para comparar medias de distintos niveles de parcelas principales, subparcelas e interacciones:

Se concluye que el PROC MIXED proporciona los errores estándares adecuados a cada nivel de análisis, realizando las comparaciones de media en la forma correcta, por lo que se recomienda su utilización ampliamente en sustitución del PROC GLM para análisis de parcelas divididas.